O que é razão?
Razão e proporção estão por trás de boa parte da Física que vem a seguir, da velocidade média às leis de Newton. Antes de qualquer fórmula, vale entender bem o que cada palavra significa. Começaremos com um exemplo bem concreto.
Comparando quantidades: o exemplo do refresco de uva
Duas jarras de refresco de uva na sua frente. Uma tem 2 copos de suco concentrado para 3 de água. A outra, 3 copos de suco para 6 de água. Qual delas está mais forte?
Se sua resposta foi “preciso provar para saber”, tem uma forma de descobrir sem sujar nenhum copo.
O que importa não é quanto suco tem em cada jarra, sozinho. É a relação entre o suco e a água. Na primeira jarra, para cada 2 partes de suco, há 3 de água. Na segunda, para cada 3 partes de suco, há 6, o que é o mesmo que 1 para 2. As proporções são diferentes: a primeira jarra tem mais suco em relação à água, então é a mais forte.
Você acabou de comparar duas quantidades usando divisão, e isso se chama razão. Repare numa coisa: não interessa o tamanho da jarra, nem quantos copos exatamente você usou. O que decide o sabor é a relação entre suco e água, não os números isolados.
Na minha experiência de sala de aula, é justamente esse ponto que separa quem entendeu razão de quem só decorou uma fórmula: se você consegue explicar por que a jarra menor pode estar mais forte que a maior, sem fazer conta nenhuma. você entendeu razão matemática na prática.
Nomeando o que você já sabe fazer
Agora que você já entendeu a ideia, vale saber o nome técnico das coisas, porque ele vai aparecer o tempo todo daqui pra frente.
Uma razão entre dois números a e b (com b diferente de zero) pode ser escrita de três formas: como fração (a/b), com dois pontos (a : b), ou como divisão comum (a ÷ b). A leitura padrão é “a está para b”. O primeiro número, a, se chama antecedente. O segundo, b, se chama consequente, e nunca pode ser zero (dividir por zero não tem resultado). É só isso: nomes para algo que você já sabe fazer.
Razões que você já usa sem perceber
Velocidade média
A razão mais familiar de todas. Se um carro percorre 160 km em 2 horas, a velocidade é a razão entre distância e tempo:
160 km / 2 h = 80 km/h
Repare que a unidade não desaparece: km dividido por h vira km/h, uma unidade nova. Isso acontece porque distância e tempo são grandezas de naturezas diferentes.
Densidade
Pegue uma barra de ferro e uma de isopor do mesmo tamanho. A de ferro é muito mais pesada, mesmo ocupando o mesmo espaço. O que diferencia as duas não é o volume (que é igual), é a razão entre massa e volume, a densidade. Se uma amostra tem 27 g de massa e 10 cm³ de volume, sua densidade é 27/10 = 2,7 g/cm³.
A mesma ideia aparece em outros contextos, fora da Física: a densidade demográfica de uma cidade, por exemplo, é a razão entre o número de habitantes e a área territorial. Uma cidade com 50.000 habitantes em 2.000 km² tem densidade demográfica de 25 habitantes por km². É a mesma lógica de comparação por divisão, só que aplicada a pessoas e território em vez de massa e volume.
Escalas em mapas e maquetes
Uma escala de 1:50 significa que cada 1 centímetro no desenho equivale a 50 centímetros na realidade. Aqui, ao contrário da velocidade, a unidade desaparece: você está comparando comprimento com comprimento, então o resultado é um número puro, sem unidade.
Velocidade, densidade e escala são só três exemplos entre muitos. Sempre que você compara duas grandezas por divisão, está lidando com razão e proporção, mesmo sem perceber.
Problema resolvido: a altura da maquete
Vamos aplicar tudo isso a um problema concreto.
Problema: Numa maquete de arquitetura, a escala utilizada é de 1:50. O prédio real tem 25 metros de altura, o equivalente a 2.500 centímetros. Qual será a altura desse prédio na maquete?
Primeiro, escrevemos a razão dada pela escala:
medida na maquete / medida real = 1/50
Substituindo o valor real conhecido (2.500 cm) e chamando a altura da maquete de x:
x / 2.500 = 1/50
Multiplicando em cruz:
50x = 2.500 → x = 2.500/50 = 50
O prédio terá 50 centímetros de altura na maquete. Faz sentido: uma escala de 1:50 reduz qualquer medida por 50 vezes, e 2.500 cm dividido por 50 dá exatamente 50 cm.
O que é proporção?
Proporção como igualdade entre razões
Se razão é uma comparação (a/b), proporção é uma igualdade entre duas razões: a/b = c/d. Um exemplo simples: 2/4 = 3/6. As duas razões, escritas com números diferentes, representam a mesma comparação.
Vale reforçar essa diferença, porque razão e proporção não são a mesma coisa: 2/4 sozinho é uma razão; 2/4 = 3/6 é uma proporção, porque envolve duas razões e uma igualdade entre elas.
Você sabia? A ideia de comparar grandezas por meio de proporções é muito antiga, tão antiga que sua formalização rigorosa remonta a Eudoxo de Cnido, matemático grego do século IV a.C., cuja teoria de proporções foi incorporada por Euclides ao Livro V de “Os Elementos”. Ela foi necessária porque a noção ingênua de razão como “fração de números inteiros” falha diante de grandezas incomensuráveis, como o lado e a diagonal de um quadrado.
A constante de proporcionalidade
Imagine um carro a 100 km/h percorrendo 200 km em certo tempo. Se a velocidade cai pela metade (50 km/h), a distância percorrida no mesmo tempo também cai pela metade, 100 km. Podemos escrever essa relação como uma cadeia de razões iguais:
200/100 = 100/50 = 2
Formalmente, dizemos que A, B, C e D são proporcionais quando A/B = C/D = L, onde L é a constante de proporcionalidade. No exemplo do carro, L = 2.
Toda vez que você encontrar duas grandezas relacionadas, existe uma pergunta que precisa vir antes de qualquer conta:
Qual é a relação matemática entre razão e proporção?
É essa pergunta, não a regra de três, que deveria vir primeiro na cabeça de quem está resolvendo um problema.
Como saber se duas grandezas são proporcionais
Depois de ver razão e proporção aparecerem em tantos contextos, a pergunta natural é: como saber, na prática, se duas grandezas específicas são proporcionais?
Montando a proporção
Para identificar grandezas proporcionais, tente montar uma proporção entre elas. Se as razões baterem, elas são proporcionais.
Exemplo: um automóvel percorre 80 km a 40 km/h, e depois 160 km a 80 km/h. As razões entre distância e velocidade são:
80/40 = 160/80 = 2
As duas razões dão o mesmo resultado, então distância e velocidade, nesse caso, são proporcionais.
Quando NÃO são proporcionais
Nem toda relação entre duas grandezas é proporcional, e um bom exemplo disso é tamanho e peso. Pegue quatro caixas idênticas, com exatamente as mesmas dimensões. Uma vem cheia de isopor, outra de livros, outra de ferramentas de metal. O peso de cada caixa varia livremente, sem nenhuma relação fixa com o tamanho dela. Não existe nenhuma constante L que relacione as duas de forma confiável. Tamanho e peso, nesse caso, simplesmente não são grandezas proporcionais entre si.
Nem toda relação é proporcional: o caso da queda livre
Para deixar isso ainda mais concreto, vamos analisar três situações de movimento lado a lado. Elas mostram os três comportamentos possíveis que grandezas relacionadas podem ter.
Situação 1, velocidade constante. A distância percorrida é d = v · t. Se você dobra o tempo de viagem, mantendo a velocidade constante, a distância percorrida também dobra. Aqui, d é diretamente proporcional a t.
Situação 2, distância fixa, velocidade variável. Se você precisa percorrer uma distância fixa, o tempo gasto é t = d/v. Dobrar a velocidade reduz o tempo gasto à metade. Aqui, t é inversamente proporcional a v.
Situação 3, queda livre. A distância percorrida em queda livre, partindo do repouso, é d = g · t²/2. Dobre o tempo de queda, e a distância não dobra, ela quadruplica. Essa relação não é diretamente proporcional (a razão d/t não é constante) nem inversamente proporcional (o produto d · t também não é constante). É uma relação diferente, que envolve o quadrado do tempo.
A situação 3 é exatamente o tipo de relação que os próximos posts desta trilha, sobre potenciação e radiciação, vão te dar ferramentas para reconhecer e trabalhar com confiança. Por enquanto, o que importa é você sair deste texto sabendo que essa terceira possibilidade existe.
Grandezas diretamente proporcionais
Sempre que o aumento em uma grandeza resulta em aumento proporcional em outra, dizemos que elas são diretamente proporcionais.
Imagine uma linha de montagem que produz mouses de computador. Com 10 funcionários, a fábrica monta 380 mouses por jornada. Se a empresa dobrar o número de funcionários, ela dobrará a produção? Se a resposta for sim, essas grandezas são diretamente proporcionais.
No gráfico, a proporcionalidade direta é sempre uma reta que passa pela origem. Esse detalhe, “passa pela origem”, é onde boa parte dos alunos escorrega: qualquer reta parece, à primeira vista, sinal de proporcionalidade direta. Mas a reta y = 2x + 3 não representa uma proporcionalidade direta, porque quando x = 0, y não é 0, é 3.
Um exemplo físico clássico é a Lei de Hooke, que relaciona a força aplicada sobre uma mola à sua deformação: F = k · x. Vale uma ressalva: essa proporcionalidade só vale dentro do regime elástico do material.
Grandezas inversamente proporcionais
Sempre que o aumento de uma grandeza provoca a redução proporcional de outra, dizemos que elas são inversamente proporcionais.
Uma viagem feita a 50 km/h leva 2 horas. Se dobrarmos a velocidade para 100 km/h, o tempo cai pela metade, para apenas 1 hora. Aumentando a velocidade, diminuímos o tempo, na mesma proporção.
No gráfico, a proporcionalidade inversa não é uma reta, é uma hipérbole, que se aproxima dos eixos sem nunca tocá-los. Outro exemplo físico é a Lei de Boyle, para gases: mantendo a temperatura constante, pressão e volume de um gás ideal são inversamente proporcionais.
A propriedade fundamental das proporções
Toda proporção a/b = c/d carrega uma propriedade útil: o produto dos termos do meio é igual ao produto dos termos das pontas.
a · d = b · c
Essa propriedade é conhecida como “produto dos meios é igual ao produto dos extremos”, e é ela que, mais adiante nesta trilha, vai virar a base da regra de três. Mas vale um cuidado: ela é consequência de uma proporção já existir, não é a definição de proporção. Um erro comum é sair multiplicando em cruz duas razões quaisquer, sem antes verificar se elas realmente formam uma proporção.
Erros comuns ao lidar com razão e proporção
Achar que toda relação entre duas grandezas é proporcional. Um teste rápido: pegue dois ou três pares de valores e calcule a razão (para verificar proporcionalidade direta) ou o produto (para verificar inversa). Se o resultado for sempre o mesmo, há boas evidências de proporcionalidade.
Confundir “aumentam juntas” com “diretamente proporcionais”. Considere y = x + 5. Se x vale 1, y vale 6. Se x vale 10, y vale 15. As duas grandezas crescem juntas, mas essa relação não é proporcional, porque y/x não é constante (6/1 = 6, mas 15/10 = 1,5). Esse é, na minha avaliação, o erro conceitual mais importante deste texto: confundir relação crescente com relação proporcional.
Perguntas frequentes sobre razão e proporção
Qual a diferença entre razão e proporção? Razão é uma comparação entre duas grandezas por divisão (a/b). Proporção é uma igualdade entre duas razões (a/b = c/d). Toda proporção envolve razões, mas uma razão sozinha não é uma proporção.
Razão sempre tem unidade? Não. Quando as duas grandezas comparadas são de naturezas diferentes, a unidade sobrevive à divisão. Quando são da mesma natureza, a unidade se cancela e a razão é um número puro.
Toda relação em que as duas grandezas crescem juntas é proporcional? Não. y = x + 5 é um contraexemplo clássico: as duas grandezas crescem juntas, mas a razão entre elas não é constante.
Proporção e regra de três são a mesma coisa? Não. Proporção é a relação matemática (uma igualdade entre razões). Regra de três é um método prático para calcular um valor desconhecido a partir de uma proporção já identificada. É exatamente esse assunto que trataremos a seguir, no próxim post.
O próximo passo: como usar proporções para encontrar valores desconhecidos
Você já sabe o que são e qual a diferença entre razão e proçorção, já sabe também reconhecer quando duas grandezas são diretamente proporcionais, quando são inversamente proporcionais, e, talvez o mais importante, quando elas não são proporcionais de jeito nenhum.
Quando conhecemos uma relação proporcional entre grandezas e precisamos determinar um valor desconhecido, uma das estratégias mais utilizadas é a regra de três. É esse o assunto do próximo texto desta trilha.
Antes de calcular, descubra como as grandezas se relacionam. Esse continua sendo o ponto de partida, a regra de três nunca substitui essa pergunta, ela só entra depois que a resposta já está clara.
Fontes
- Boyer, C. B.; Merzbach, U. C. (A History of Mathematics)
- Encyclopaedia Britannica: Eudoxus of Cnidus
- Euclid (Elements, Book V)
Razão e proporção foi o primeiro passo da trilha Matemática para Física.
